Maiali in parlamento

Ma che c'entrano i salami con il parlamento? Un piccolo
ripasso di ricerca operativa potrà chiarirvelo facilmente.

   Mi é successo, parlando con amici di governi tecnici, di discutere del fatto se due tecnici onesti, a differenza di due politici, cioè esseri che non sono né tecnici né onesti per definizione, di fronte alle stesse premesse giungerebbero alle stesse conclusioni o meno: io sostenevo di si e loro sostenevano il contrario. Ebbene, dopo averci riflettuto un attimo sono giunto ad alcune conclusioni che voglio condividere. Parto dall'ipotesi che prendere una decisione razionale in base a parametri oggettivi e non soggettivi significhi prendere la stessa decisione che chiunque,
partendo dagli stessi parametri, avrebbe preso. Per dimostrare questa tesi, o nel caso per dimostrare che non è vera, dovrò rifarmi ad alcuni elementi di ricerca operativa ma eviterò, per quanto possibile eccessive complicazioni. Mi scuso anticipatamente se per farlo dovrò, per qualche attimo, violare la sacralità del nostro parlamento ed introdurre, a titolo di esempio, nel sancta sanctorum del nostro governo alcuni insaccati di maiale. Non mi sembra, del resto, di fare niente di male con questo dal momento che già più di una volta nello stesso luogo sono stati introdotti, mi sembra, addirittura i suini interi.

PICCOLA NOTA SULLA RICERCA OPERATIVA CHE SPIEGA ANCHE IL COINVOLGIMENTO DEI MAIALI IN QUESTA ALTRIMENTI SERISSIMA DISCUSSIONE

La ricerca operativa, purtroppo, non si
insegna nella maggior parte dei corsi di
studio mentre dovrebbe fare parte,
assieme alla statistica ed al calcolo
combinatorio, delle conoscenze
di ogni individuo.

   Iniziamo col dire che in ogni decisione sono coinvolte delle variabili e per spiegarlo facciamo l’esempio di un allevatore di maiali che debba decidere quanta carne destinare alla produzione di prosciutti e quanta a quella di salami per cui ipotizziamo che le variabili in gioco siano il numero dei prosciutti, il numero dei salami e, ovviamente, la variabile da ottimizzare che, in questo caso, sarà l’utile dell’azienda. Avremmo potuto fare un esempio più realistico ma è preferibile, per facilitare la comprensione, che le variabili in gioco non siano più di 2, che serviranno a formare un sistema di vincoli ed a definire la funzione obiettivo. Avendo scelto, per l’esempio, un sistema con due sole variabili, numero dei prosciutti ed il numero dei salami, possiamo facilmente immaginarlo in un piano cartesiano, ed ecco spiegato perché limitare l’esempio a 2 variabili, e rimanere così in una dimensione facilmente figurabile. In questo piano, dove ogni asse rappresenta una delle variabili, iniziamo a porre dei vincoli, che per il nostro esempio saranno:

• Numero dei prosciutti non negativo: P >=0;
• Numero dei salami non negativo: S>=0;
• Numero dei prosciutti minore del massimo numero dei dei prosciutti vendibili: P<=mp;
• Numero dei salami minore del massimo numero dei salami vendibili: S<=ms;
• Peso totale insaccati minore peso utile totale maiali disponibili: P*pp+S*ps<= N*pu;
• Numero prosciutti<Numero cosce di maiale disponibili: P<2*N;

Poi aggiungiamo una funzione obiettivo che sarà che una funzione lineare di S e P del tipo:

• Guadagno totale = Numero prosciutti * guadagno su un prosciutto + numero salami per guadagno su di un salame: G=S*gs+P*gp;

   Questa funzione, essendo G un valore da determinarsi, definisce un fascio di rette parallele sul piano cartesiano SP.

   A questo punto tracciamo una retta per ogni disequazione del sistema di vincoli e determiniamo l’inclinazione della funzione obiettivo tracciando una delle possibili rette, graficamente otterremo qualcosa del genere:

Il poligono delimitato dai segmenti ingrossati rappresenta (se esiste, perché potremmo anche trovarci di fronte ad un sistema di vincoli che esclude ogni possibile soluzione) lo spazio di decisione all'interno del quale dovremo trovare la soluzione ottima. Si può dimostrare (la dimostrazione non é l'obiettivo di questo post) che di tutte le possibili rette del fascio definito dalla funzione obiettivo (per intenderci delle rette parallele a quella rossa) quella che ottimizzerà la variabile obiettivo (nel nostro caso G) passerà sempre per uno dei vertici del poligono. L'allevatore di maiali potrà anche essere mosso da motivazioni soggettive che lo spingeranno a sperimentare soluzioni fuori dal poligono (scontrandosi contro l'impossibilità pratica) e non risiedenti su un vertice (e non ottimizzando l'utile) ma, se si fosse basato solo sui fatti, la soluzione sarebbe stata una ed una sola (o infinite equivalente nel caso la funzione obiettivo abbia la stessa pendenza di una delle disequazioni di vincolo, ma questo é semplicemente un caso particolare che porta comunque alla decisione univoca di scegliere uno dei punti sulla retta). Si può facilmente intuire che, al crescere del numero delle variabili, il poligono diventerebbe prima un poliedro (tre variabili) e quindi un politopo (N variabili dove N>3) e che la funzione obiettivo crescerebbe di dimensione a sua volta rendendo sempre più complicata la raffigurazione geometrica ma posso garantire che, indipendentemente dal numero delle variabili e dalle dimensioni spaziali coinvolte, il concetto non cambia.

   Ora dimentichiamoci finalmente salami e prosciutti, con grande sollievo dei poveri maiali, e domandiamoci se portando nel mondo reale e nelle decisioni di tutti i giorni, o anche in quelle più complesse, che richiedono anni per essere prese, questo metodo decisionale possiamo arrivare a dire che due persone distinte, di fronte agli stessi vincoli ed alla stessa funzione obiettivo prenderanno la stessa decisione? 

   Ebbene, avevano ragione i miei amici, la risposta é NO. No perché abbiamo tralasciato tre dettagli importanti:

1. Le disequazioni che definiscono i vincoli e la funzione obiettivo, perché sia vero che la soluzione migliore si trova sempre in un vertice, devono essere lineari ed i metodi di linearizzazione possibili non sono univoci;
2. Al crescere del numero delle variabili il numero dei vertici da confrontare non cresce linearmente ed anche applicando metodi ottimizzati di ricerca del vertice migliore, come il simplesso, ci troviamo di fronte ad un problema con tempi di calcolo che variano esponenzialmente con il numero delle variabili in gioco. In pratica basta un numero relativamente piccolo di variabili in gioco perché l'algoritmo diventi non computabile in tempi ragionevoli;

3. 

   Come cambia la rappresentazione
   quando si passa nel discreto.
   N.B: Non so perché abbiano srcitto
   a lato problema difficile, l'immagine
   viene da internet.

   Spesso le disequazioni e la funzione obiettivo sono discrete e non continue¹.

   Se però poniamo la domanda in modo diverso e ci chiediamo se due persone distinte, di fronte agli stessi vincoli ed alla stessa funzione obiettivo, dovranno concordare, dato un insieme finito di proposte, su quali sono attuabili e quali no?, la risposta é evidentemente positiva ed altrettanto positiva é la risposta alla domanda, più importante: Due persone distinte, a fronte degli stessi vincoli e della stessa funzione obiettivo, dovranno necessariamente concordare, dato un insieme finito di proposte attuabili, su quale sia la migliore?

   Ed ecco, quindi, che applicando al concetto di “governo tecnico” quanto detto possiamo dire che due tecnici onesti che non comunichino fra di loro scambiandosi l'insieme delle soluzioni prese in considerazione di fronte ad un insieme di vincoli ed ad una funzione obiettivo potranno anche giungere a conclusioni diverse ma, se accettano di comunicare fra di loro e di prendere in considerazione l'uno le possibili soluzioni proposte dall'altro, dovranno necessariamente convergere verso una decisione univoca o un insieme di decisioni equivalenti. 

Questo é come dire che:

spogliandosi dei preconcetti, accettando che le idee altrui valgano quanto le nostre e badando solo ai risultati concreti non si può essere in disaccordo se non sulle premesse.

   Ora, pur essendo conscio della fragilità del mio ragionamento che tralascia tanti dettagli ed esclude completamente la debolezza umana sono talmente soddisfatto di quello che ho scritto e, specialmente, mi piace talmente tanto questa frase evidenziata in giallo, che somiglia a quegli aforismi che quand'ero piccolo e non trovavo altro da leggere i vecchi numeri di selezione mi propinavano, giusto per riempire la pagina, alla fine degli articoli, che penso proprio che chiuderò qua, lasciando ad un prossimo post le applicazioni reali, o anche immaginarie, di tutto questo. 

   Vorrei però cogliere l'occasione per scusarmi per la faccenda dei salami sia con il povero maiale che con chi eventualmente leggesse questo post e fosse di fede musulmana od ebraica. Certo, avrei potuto usare un esempio diverso dall'animale impuro ma purtroppo nella mia mente la ricerca operativa é indissolubilmente legata a maiali e prosciutti a causa dell'ignobile esempio che, per spiegare questi altrimenti serissimi concetti, la mente blasfema della mia professoressa di statistica, della quale pur non ricordando il nome ricordo perfettamente la somiglianza a Farrah Fawcet, aveva partorito. Vogliano quindi i musulmani e gli ebrei sostituire mentalmente l'esecrato maiale con un altro animale di loro gradimento come ad esempio un cammello, malgrado l'evidente difficoltà di conciliare prosciutti e salami con la carne del povero ungulato, e non si offendano per questo perché, nel caso fossero sorti dei dubbi in proposito, voglio rassicurarli sul fatto che questo post parla di matematica e non di religione.

1 Anche nel nostro esempio, in realtà, lo sarebbero state in quanto non si possono fare dei mezzi salami o dei mezzi prosciutti né, tanto meno, ammazzare dei mezzi maiali ma, se il numero di maiali, di salami e di prosciutti coinvolti è sufficientemente grande la approssimazione non sposta la vita;